Анотація до роботи:

Малишева Т.М. Інтерполяційні формули в гільбертовому просторі, асимптотично точні на поліномах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 – обчислювальна математика. – Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена розв’язанню та дослідженню задач поліноміального операторного інтерполювання Ерміта та Ерміта-Біркхофа в абстрактному гільбертовому просторі. Запропоновано множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій розглянуто побудову нових інтерполянтів, що за певним вибором інтерполяційних умов мають властивості єдиності на цій множині та асимптотичної (в сенсі зростання розмірності підпростору на якому визначено інтерполяційні умови) точності на поліномах відповідного степеня. Знайдено умови Ерміта та Ерміта-Біркхофа, які забезпечують виконання даних властивостей. Для диференційованого за Гато оператора на вибраній множині конструктивно побудовано відповідні інтерполяційні формули Ерміта та Ерміта-Біркхофа, асимптотично точні на поліномах. Досліджено точність інтерполювання поліноміальних, аналітичних за Гато операторів та операторів, що мають скінчену кількість вищих похідних Фреше, в умовах точно та збурено заданої вихідної інформації. В просторі встановлено еквівалентність розв’язку задачі ідентифікації поліноміальних систем методом ортогональних моментів в разі детермінованих впливів та операторними інтерполянтами, асимптотично точним на поліномах відповідного степеня.

В дисертаційній роботі поставлена та розв’язана задача конструктивної побудови на множині та аналізу точності в абстрактному гільбертовому просторі інтерполяційних операторних поліномів Ерміта та Ерміта-Біркхофа нової, достатньо простої структури, що мають властивості єдиності на цій множині та асимптотичного збереження поліномів відповідного степеня.

Основні наукові результати, отримані в дисертації, формулюються наступним чином.

1. В абстрактному гільбертовому просторі знайдено множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій інтерполяційні формули визначаються однозначно з інтерполяційних умов, заданих на підпросторі . Інтерполянти на підпросторі є точними на поліномах відповідного степеня, а на всьому просторі – асимптотично (в сенсі зростання значення ) точними.

2. Для побудови операторних інтерполянтів на множині з переліченими вище властивостями необхідна однакова кількість інтерполяційних умов, заданих на .

3. У випадку інтерполювання поліноміальних операторів всі інтерполяційні формули співпадають, а для неполіноміального – різні.

4. На підпросторі знайдено інтерполяційні умови Ерміта в одному вузлі, типу Абеля-Гончарова та частинні випадки умов Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що забезпечують однозначну побудову на множині операторних інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах відповідного степеня.

5. Для оператора, диференційованого за Гато в просторі , на основі знайдених інтерполяційних умов конструктивно побудовано інтерполянти Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що мають властивості єдиності на множині та асимптотичної точності на поліномах того ж степеня.

6. Для поліноміального оператора отримано оцінки точності інтерполяційних формул, асимптотично точних на поліномах.

7. Для аналітичного за Гато оператора та оператора, що має скінчену кількість похідних Фреше, оцінено точність інтерполянта Ерміта в одному вузлі. За певних умов доведена збіжність такого інтерполяційного процесу до аналітичного за Гато оператора, коли , .

8. За умов збурено заданої вихідної інформації для поліноміальних, аналітичних за Гато операторів та операторів, що мають скінчену кількість похідних Фреше знайдено оцінки точності інтерполянтів Ерміта в одному вузлі. Також для поліноміальних операторів оцінено точність інтерполяційної формули типу Абеля-Гончарова та частинних випадків інтерполянтів Ерміта та Ерміта-Біркхофа. Із отриманих оцінок визначено значення (для випадку інтерполяції поліноміального оператора та оператора, що має скінчену кількість похідних Фреше) та пар (для випадку інтерполяції аналітичного за Гато оператора), перевищення яких не покращує знайдену оцінку точності.

9. В просторі показано, що розв’язок задачі ідентифікації поліноміальних систем методом ортогональних моментів у разі детермінованих впливів еквівалентний побудові операторного інтерполянта, асимптотично точного на поліномах відповідного степеня.

10. Апробація теоретичних результатів на прикладах поліномів Вольтерра другого та третього степеня з конкретно заданими вхідними функціями та ядрами експериментально підтвердила задовільну точність інтерполювання та простоту побудови отриманих інтерполяційних формул типу Ерміта та Ерміта-Біркхофа.

На завершення окреслено можливі напрямки подальших досліджень, зокрема, пошук нових інтерполяційних умов, що забезпечать за будь-яким однозначну побудову на визначеній множині операторних інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах, та аналіз точності відповідних інтерполяційних формул, а також узагальнення отриманих в абстрактному гільбертовому просторі результатів на випадок лінійних топологічних просторів.

Публікації автора:

1. Хлобистов В. В., Поповічєва (Малишева) Т. М. Про двосторонні оцінки норми операторного полінома в гільбертовому просторі // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2004. – № 2. – С. 356–361.

2. Хлобистов В.В., Кашпур О.Ф., Поповічєва Т.М. Операторні інтерполянти в гільбертовому просторі асимптотично точні на поліномах // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2005. – № 4. – С. 242–248.

3. Хлобистов В.В., Кашпур О.Ф., Малишева Т.М. Про множину операторних інтерполянтів, гранично інваріантних щодо поліномів // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 2. – С. 246-252.

4. Хлобыстов В.В., Поповичева Т.Н. Об интерполяционном приближении дифференцируемых операторов в гильбертовом пространстве // Укр. мат. журн. – 2006. – Т.58, № 4. – С. 554-565.

5. Хлобыстов В.В., Поповичева Т.Н. Интерполирование и задачи идентификации // Кибернетика и системный анализ. – 2006. – № 3. – С. 100 – 107.

6. Хлобистов В.В., Малишева Т.М. Про оцінки точності інтерполювання диференційованих операторів в гільбертовому просторі в разі збурених значень їх диференціалів // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 3. – С. 270-277.

7. Малишева Т.М. Про точність інтерполювання та збіжність послідовності інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах в гільбертовому просторі // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 4. – С. 191-199.

8. Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Інтерполяційне наближення полінома Тейлора для диференційованих операторів у гільбертовому просторі // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2005. – № 2. – С. 324–330.

   Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Про операторну інтерполяцію та ідентифікацію нелінійних систем // Вісник Київського ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. – 2006. – № 1. – С. 209–215.

   10. Поповічєва Т.М. Про двосторонні оцінки норми операторного полінома в гільбертовому просторі з мірою // ХХ Міжнар. Наук. конференція імені академіка М. Кравчука. Київ, 13-15 травня 2004 р. – К., 2004. – С. 490.

       Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Про інтерполяційне наближення диференційованих операторів // Питання оптимізації обчислень (ПОО ХХХІІ): Міжнар. конференція, присвячена пам’яті академіка В.С. Михалевича. Крим, с. Кацивелі, 19-23 вересня 2005 р. – К., 2005. – С. 210.

       Хлобистов В.В., Поповічєва Т.М. Про операторне інтерполювання та задачі ідентифікації нелінійних систем // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: ХХІІ Всеукр. Наук. Конференція. Львів, 4-6 жовтня 2005 р. – Львів, 2005. – С. 156.

       Хлобистов В.В., Кашпур О.Ф. Малишева Т.М. Про множину операторних інтерполянтів, гранично інваріантних щодо поліномів // ХХІ Міжнар. Наук. конференція імені академіка М. Кравчука. Київ, 18-20 травня 2006 р. – К., 2006. – С. 490.