Визначено точнi порядки iнформацiйної i алгоритмiчної складностi опера-
торних рiвнянь, що є узагальненням iнтегральних рiвнянь Фредгольма пер-
шого роду з коефiцiєнтами скiнченної гладкостi. У випадку апрiорного
вибору параметра регуляризацiї побудованi оптимальнi в сенсi складностi
проекцiйнi методи розв'язання некоректних задач, що використовують новi
схеми дискретизацiї.
5. Знайдено порядки iнформацiйної складностi проекцiйних методiв на класах
рiвнянь I роду у випадку, коли параметр регуляризацiї обирається апосте-
рiорi.
6. Встановлено, що використання симетричних схем при дискретизацiї рiвнянь
із самоспряжними невiд'ємними операторами призводить до iстотного збiль-
шення обсягу задiяної дискретної iнформацiї.
7. Побудовано алгоритми розв'язання некоректних задач, що являють собою
комбiнацiю запропонованого адаптивного пiдходу до дискретизацiї, принци-
пу нев'язки i деяких методiв регуляризацiї (iтерованого методу Тихонова i
методу Ландвебера). Встановлено, що цi алгоритми є бiльш економiчними у
сенсi використаної дискретної iнформацiї, нiж стандартнi методи.
Результати дисертацiї, що викладенi в роздiлах III i IV, є першими в галузi складностi некоректних задач. Iдеї i методи, що розвиненi в дисертацiї, були використанi в багатьох iнших роботах (див., наприклад, посилання [125,135] дисертацiї). Все це дозволяє зробити висновок, що дисертацiя є новим важливим кроком у розвитку теорiї оптимальних алгоритмiв, а її езультати мають численнi зв'язки з iншими результатами в цiй галузi i можуть бути вико-
ристанi у вiдповiдних дослiдженнях.
Автор зберiгає глибоку вдячнiсть своєму вчителю академiку НАН України Корнєйчуку Миколi Павловичу, а також висловлює щиру подяку професору Переверзєву Сергiю В'ячеславовичу за їхнi критичнi зауваження i кориснi поради пiд час роботи над дисертацiєю.
Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах:
1. Солодкий С.Г.
Оптимизация алгоритмов приближенного решения
уравнений Вольтерра с бесконечно дифференцируемыми ядрами //
Укр.мат.журн.- 1994. - 46, N 11. - С.1534--1545.
2. Солодкий С.Г.
Сложность уравнений Фредгольма II рода с ядрами из анизотропных классов
дифференцируемых функций //Укр.мат. журн. - 1996. - 48, N 4. - С.525--532.
3. Солодкий С.Г.
Сложность проекционных методов решения некорректных задач //
Укр.мат.журн. - 1996. - 48, N 8. - С.1114--1124.
4. Pereverzev S.V., Solodky S.G.
The Minimal Radius of Galerkin Information for the Fredholm Problem of
the First Kind// Journal of Complexity. -- 1996. -- 12. -- P.176--202.
5. Pereverzev S.V., Solodky S.G.
An efficient Discretization for Solving Ill-Posed Problems//
Lectures in Applied Mathematics. -- 1996. -- 32. -- P.643--649.
6. Солодкий С.Г.
О дискретизации некорректных задач // Журн. вычисл. математики
и мат.физики. - 1996. - 36, N 8. - С.15--22.
7. Солодкий С.Г.
Экономичный подход к дискретизации метода М.М.Лаврентьева //
Сиб.мат.журн. - 1997. - 38, N 2. - С.396--404.
8. Солодкий С.Г.
Об информационной сложности некоторых классов операторных уравнений//
Укр.мат.журн. - 1997. - 49, N 9. - С.1271--1277.
9. Солодкий С.Г.
Об одном подходе к дискретизации некорректных задач //
Докл. РАН. - 1997. - 356, N 5. - С.608--611.
10.Солодкий С.Г.
Об одной схеме дискретизации уравнений Фредгольма I рода //
Дифференц.уравнения. - 1997. - 33, N 11. - С.1547--1551.
11.Солодкий С.Г.
Информационная сложность проекционных алгоритмов решения уравнений
Фредгольма I рода. I// Укр.мат.журн. - 1998. - 50, N 5. - С.699--711.
12.Солодкий С.Г.
Информационная сложность проекционных алгоритмов решения уравнений
Фредгольма I рода. II// Укр.мат.журн. - 1998. - 50, N 6. - С.838--844.
13.Солодкий С.Г.
О модификации проекционной схемы решения некорректных задач //
Изв. вузов. Математика. - 1998. - N 11. - С.83--90.
14.Солодкий С.Г.
Оптимизация проекционных методов решения линейных некорректных
задач// Журн.вычисл.математики и мат. физики.
- 1999. - 39, N 2. - С.195--203.
15.Солодкий С.Г.
Оптимизация проекционных схем дискретизации некорректных задач//
Укр.мат.журн. - 1999. - 51, N 10. - С.1398--1410.
16.Solodky S.G.
Complexity for some classes of well-posed problems //
Proc. Estonian Sci. Phys. Math. -- 1999. -- 48, N 2. -- P.123--132.
17.Solodky S.G.
A generalized projection scheme for solving ill-posed problems //
Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. -- 1999. -- 7, N 2. -- P.185--200.
18.Переверзев С.В., Солодкий С.Г.
Оптимальная дискретизация некорректных задач //
Укр.мат.журн. - 2000. - 52, N 1. - С.106--121.
19.Maass P., Pereverzev S.V., Ramlau R., Solodky S.G.
An adaptive discretization for Tikhonov-Phillips regularization with a posteriori
parameter selection // Numer. Math. -- 2001. -- 87. -- P.485--502.
20.Solodky S.G.
The Optimal Approximations for Solving Linear Ill-Posed Problems//
Journal of Complexity. -- 2001. -- 17, N 1. -- P.98--116.
21.Солодкий С.Г.
Адаптивная дискретизация некорректных задач // Докл. РАН.
- 2002. - 382, N 4. - С.460--462.
22.Solodky S.G.
Information Complexity of Some Classes of Ill-Posed Problems//
Abstracts of the International Seminar on
Algorithms and Complexity for Continuous Problems. --
Dagstuhl (Germany), 1996. -- P.17.
23.Солодкий С.Г.
Проекцiйна схема дискретизацiї некоректних задач//
Тези доповiдей II-й школи Ряди Фур'є: теорiя i застосування. --
Київ (Україна), 1997. -- C. 117.
24.Solodky S.G.
Optimization of projection methods for solving ill-posed problems//
Abstracts of the International Conference on
Approximation methods and orthogonal expansions. --
Tartu (Estonia), 1998. -- P.31.
25.Solodky S.G.
Optimization of projection methods for solving linear ill-posed problems //
International Congress of Mathematicians.
Abstracts of Short Communications. -- Berlin (Germany), 1998. -- P.314--315.
26.Солодкий С.Г.
Конечномерная модификация некоторых методов регуляризации//
Шоста Кримська Мiжнародна математична школа МФЛ-2002. --
Сiмферополь (Україна), 2002. -- C. 132.
